Hyväntahtoinen lotto ja odotusarvo

Minun isoisäni lottosi paljon. Joka viikko oli suuri määrä rivejä vetämässä. Vuosikymmenien kuluessa hän voitti joitakin pienempiä potteja, muttei koskaan päävoittoa. Ja kaikki voittamansa rahat hän pani uudestaan lottoon. Isoisäni ei ollut käynyt kouluja; vain muutama vuosi kiertokoulua 1920- ja 1930-luvun vaihteessa. Muiden muassa siksi hän ei ollut kovin hyvä numeroiden kanssa. En tiedä, olisiko hän lopettanut lottamista, jos hänelle olisi selittänyt, ettei se ole taloudellisesti kannattavaa. Todennäköisesti ei.

Lotossa pitää päävoiton saamiseksi arvata oikein seitsemän numeroa, jotka arvotaan numeroista 1-39. Lisäksi on joitakin pienempiä voittoluokkia, joissa riittää vähempikin määrä oikeita numeroita, mutta keskitytään tässä päävoittoon. Seitsemän numeroa voi arpoa 39:stä 39 x 38 x 37 x 36 x 35 x 34 x 33 tavalla. Ei ole kuitenkaan väliä, missä järjestyksessä numerot ovat, joten jaetaan tuo luku permutaatioiden määrällä 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1. Tulos on 15 380 937. Päävoiton todennäköisyys on siis noin yksi 15 miljoonasta.

Yksi lottorivi maksaa 0,80 €. Oletetaan, että tällä kertaa on iso potti jaossa: 8 000 000 €. Näiden perusteella voidaan laskea odotusarvo. Se saadaan kertomalla mahdollisten tapahtumien voitot (tai tappiot) niiden todenäköisyyksillä ja summaamalla ne yhteen. Tässä tapauksessa on kaksi mahdollista tapahtumaa (tässä unohdetaan pikkuvoitot): voitto ja ei voittoa. Voitton tapauksessa voitto on 8 000 000 € - 0,80 € ja ei voittoa tapauksessa se on -0,80 €. Voiton todennäköisyys on 1/15380937 ja ei voittoa todennäköisyys on 15380936/15380937. Näin ollen odotusarvo on 1/15380937 x 8000000 € + 15380936/15380937 x -0,80 € = -0,28 €. Suurellakin potilla lotto on siis odotusarvoisesti häviävä peli. Tämä on johdonmukaista, koska voittorahat saadaan lottoajien rahoista, ja vain osa noista rahoista jaetaan takaisin voittoina.

Mutta entäpä, jos potti olisi niin suuri, että lotto olisikin odotusarvoisesti voittava peli? Kuvitellaan vaikkapa, että joku hyväntahtoinen miljardööri antaisi rahaa tällaiseen peliin. Loton odotusarvo olisi nolla, kun potti on 15 380 937 x 0,80 € = 12 304 749,60 €. Tätä suuremmilla poteilla saataisiin positiivisia odotusarvoja. Esimerkiksi 15 miljoonan euron päävoitolla odotusarvo olisi 0,18 €. Kannattaisiko lottoaminen tällöin?

Vaikka rationaalisen toimijan usein odotetaankin maksimoivan odotusarvoa, on se mielestäni tässä väärä kriteeri. Ihminen ei nimittäin elämänsä aikana ehdi lottoamaan niin paljon, että voitto olisi todennäköinen. Kuvitellaan, että ihminen täyttäisi viikossa 500 riviä. Tämä maksaisi 500 x 0,8 € = 400 €. Vuodessa tämä tekisi 52 x 500 = 26 000 riviä hintaan 52 x 400 € = 20 800 €. Kuvitellaan, että tämä esimerkki-ihmisemme pystyisi lottoamaan 50 vuotta. Tämä tarkoittaisi 50 x 26 000 = 1 300 000 riviä hintaan 50 x 20 800 € = 1 040 000 €. Voiton todennäköisyys olisi siis tällöinkin vain 1300000/15380937 = 8,45 % ja lottoriveihin siis käytettiin yli miljoona euroa. Vaikka potti olisi kuinka suuri, ja odotusarvo vahvasti positiivinen, ei olisi todennäköistä, että juuri tietty ihminen sen voittaa. Siksi en lottoaisi, vaikka päävoitot olisivat kuinka suuria.

Odotusarvo vastaa todennäköisyydellä painotettua keskiarvoa. Keskiarvo on vain yksi "keskimuuttujista", joilla voidaan luonnehtia jotain satunnaismuuttujien jakaumaa. Muita keskimuuttujia ovat mediaani ja moodi. Mediaani vastaa keskimmäistä arvoa, kun tilaston arvot järjestetään pienimmästä suurimpaan. Esimerkiksi palkkatilastoissa mediaani kertoo enemmän kuin keskiarvo, koska näin suodatetaan pois ääritapaukset, jotka vääristävät tilastoa. Moodi puolestaa tarkoittaa todennäköisyys jakauman maksimikohtaa. Moodeja voi olla useita. Esimerkiksi tasajakauman tapauksessa kaikki arvot ovat moodeja. Lottoesimerkissämme moodi olisi tapaus ei voittoa. Tässä tapauksessa se kuvaisi hyvin todennäköisintä lopputulosta. Olenkin sitä mieltä, että joissakin tapauksissa rationaalisen toimijan voisi olla parempi maksimoida moodia kuin odotusarvoa.

Syy siihen, miksi otin tämä lottoesimerkin on se, että näin saadaan kärjistetysti esille odotusarvon maksimoimisen ongelma. Tutkin nimittäin osakekurssien käyttäytymisen kuvaamiseen usein käytettyä log-normaalijakaumaa, jossa keskimuuttujat käyttäytyvät erikoisesti.  Kuvassa 1 kaikilla todennänöisyysjakaumilla on sama mediaani, joka siis on vaaka-akselilla ykkösen kohdalla. Toisaalta koska niillä on eri keskihajonnat, ja jakauma ei ole symmetrinen, niiden odotusarvot ja moodit siirtyvät poispäin mediaanista. Erikoista on se, että keskihajonnan kasvaessa moodi pienenee, kun taas odotusarvo kasvaa. Näin ollen ei ole sama, kumpaa niistä maksimoidaan.

Kuva 1. Log-normaalijakauma eri keskihajonnoilla. Huomaa kuinka moodi (korkein kohta) siirtyy vasemmalle, kun keskihajonta kasvaa, vaikka odotusarvo siirtyy oikealle. (Lähde: http://en.wikipedia.org/wiki/Log-normal_distribution)

Tälle ilmiölle löytyy intuitiivinen selitys. Keskihajontaa siis käytetään riskin mittana. Kun riski kasvaa, odotusarvokin kasvaa. Suurempaa odotusarvoa voi hakea suuremmalla riskillä. Toisaalta riskin kasvaessa moodi pienenee. Todennäköisin yksittäinen tulos siis pienenee. Odotusarvossa tätä kompensoi se, että jakauman "häntä" pitenee eli korkean tuoton tapauksen todennäköisyys kasvaa. Jotta päästäisiin lähelle odotusarvon tuottoja, on jakaumasta otettuja tapahtumia oltava riittävästi, jotta mukaan mahtuisi noita korkean tuoton tapahtumia. Jos siis valitsisimme jakaumasta vain yksittäisen tapahtuman, kannattaisi maksimoida moodia, mutta suurella joukolla tapahtumia kannattaisi optimoida odotusarvoa. Selkokielellä siis: riskisempiä osakkeita valitessa hajautus ja/tai pidempi tarkasteluaika ovat tärkeitä, koska yksittäisen osakkeen lyhyen aikavälin tuotto on todennäköisesti pienempi kuin riskittömämmän osakkeen, vaikka odotusarvo laskennallisesti onkin korkeampi.

Edellä mainittua hyväntahtoista versiota lotosta voisi siis verrata erittäin suuri riskiseen sijoituskohteeseen. Jos sitä voisi pelata suurella määrällä rivejä, esim. 15 miljoonaa riviä viikossa (joku lainaisi sen 12 miljoonaa euroa viikoittain), sen pelaaminen olisi rationaalista, koska voittoja tulisi riittävän usein (ja lainan voisi maksaa takaisin, jääden vielä voitolle). Ongelmana tässä olisi kuitenkin se, että jos muut voisivat tehdä samoin, menisivät potit jakoon ja voitto-osuus laskisi liian alhaiseksi. Jotenkin tästä tulee mieleyhtymä tehokkaiden markkinoiden hypoteesiin: jos olisi keino hyötyä tilanteesta, rationaaliset toimijat pyrkisivät hyötymään siitä, ja ilmiö katoaisi.