Riskienhallintaa korrelaatiolla

Sanaa "korrelaatio" käytetään arkikielessä melko löyhästi. Termillä on kuitenkin tarkasti määritelty matemaattinen merkitys. Se kuvaa satunnaismuuttujien välistä tilastollista riippuvuutta tai riippumattomuutta. Itseasiassa korrelaatioita on useammanlaisia, ja tämä artikkeli keskittyy Pearsson-tyyppiseen korrelaatioon, joka on yleisimmin käytetty korrelaatio. En esitä tässä yhteydessä tilastomatemaattisia kaavoja, koska ne eivät kiinnostane keskivertolukijaa, ja ne, joita kaavat kiinnostavat, voivat tarkistaa ne tilastomatematiikan kirjoista tai vaikkapa wikipediasta.

Korrelaatio on kätevä työkalu sijoitussalkun riskien hallinnassa, vaikka sen käyttäminen yksistään ei vielä välttämättä riitä. Korrelaatio edustaa siis kahden satunnaismuuttujan välistä riippuvuutta. Osakekursseja (tai muidenkin sijoituskohteiden arvojen aikasarjadataa) voidaan käsitellä tällaisina satunnaismuuttujina. Korrelaatio saa arvoja -1:stä +1:een. Jos kahden osakekurssin korrelaation on +1, se tarkoittaa, että osakekurssit liikkuvat aina täsmälleen samaan suuntaan. Jos korrelaatio on -1, osakekurssit liikkuvat aina täsmälleen vastakkaisiin suuntiin. Näissä tapauksissa myös muutosten suuruuksien suhteessa variansseihin on oltava samat. Kurssien välinen korrelaatio 0 tarkoittaa, että niiden liikkeillä ei ole mitään yhteyttä keskenään. Tavallisesti osakekurssien väliset korrelaatiot ovat jotain näiden väliltä. Saman alan ja saman pörssin osakkeilla on tyypillisesti suurempi korrelaatio (lähellä yhtä) kuin eri alojen eri puolilla maailmaa noteerattujen yhtiöiden kursseilla (lähempänä nollaa).

Varianssi on toinen keskeinen käsite riskien hallinnassa. Intuitiivisesti sillä tarkoitetaan sitä, kuinka paljon kurssi heiluu keskiarvonsa ympärillä. Varianssi on aina positiivinen luku. Toinen asiaan liittyvä käsite on keskihajonta. Keskihajonnan neliö on käytännössä sama kuin varianssi. Seuraavassa oletetaan, että satunnaismuuttuja noudattaa normaalijakaumaa eli tietyn arvon esiintymisen todennäköisyys saadaan Kuvan 1 kaltaisesta käyrästä. Keskihajonnan käsite on tässä yhteydessä helppo mieltää keskiarvon ympärillä välinä, jolle tietty prosenttiosuus satunnaisuuttujan arvoista sijoittuu. Esimerkiksi 68 % arvoista sijoittuu +-1 keskihajonnan sisään keskiarvosta ja 95,2 % arvoista sijoittuu +-2 keskihajonnan sisään.

Kuva 1. Hahmotelma normaalijakaumasta, jossa vaaka-akselilla on satunnaismuuttujan arvo ja pystyakselilla sen esiintymisen todennäköisyys. Käyrän alle jäävän pinta-ala suuruus tietyllä välillä vastaa sen todennäköisyyttä, että satunnaismuuttujan arvo sattuu tuolle välille.

Monesti riskin mittana käytetäänkin varianssia (tai keskihajontaa; valinta on käytännössä yhdentekevä), vaikka tämä valinta ei ole aivan ongelmaton. Kun osakekurssien väliset korrelaatiot tunnetaan, on mahdollista minimoida sellaisen salkun kokonaisvarianssi, joka sisältää noita osakkeita, valitsemalla osakkeiden painot sopivasti. Tarkastellaan seuraavassa aluksi vain kahden osakkeen tapausta ja yritetään luoda intuitiivinen kuva varianssien suhteista.

Oletetaan, että kahden osakkeen (A ja B) korrelaatio on tasan nolla. Tällöin osakkeiden keskihajontoja ja kokosalkun keskihajontaa voidaan havainnollistaa suorakulmaisen kolmion avulla. Ks. Kuva 2. Oletetaan, että salkku sisältää vain osakkeita A ja B joillakin painoituksilla. Noista painotuksista saadaan kummallekin osakkeelle suhteellisella osuudella painotettu keskihajonta. Esimerkiksi, jos salkkusisältää osaketta A 20 % ja osakkeen A keskihajonta on 3,5, A:n suhteellisella osuudella painotettu keskihajonta on 20 % 3,5:stä eli 0,7.
Olkoon osakkekurssin A suhteellisella osuudella painotettu keskihajonta a ja osakekurssin B suhteellisella osuudella painotettu keskihajonta b. Tällöin koko salkun keskihajonta saadaan pythagoraan lauseesta.

Kuva 2. Suorakulmainen kolmio ja pythagoraan lause: kateettien neliöden summa on yhtä kuin hypotenuusan neliö.

Huomataan, että kolmion pitkä sivu on lyhempi kuin kahden lyhyen sivun pituuksien summa. Toisin sanoen kokosalkun keskihajonta on vähemmän kuin osakkeiden suhteellisella osuudella painotettujen keskihajontojen summa. Näin sisällyttämällä salkkuun kahta toisistaan riippumatonta osaketta kokonaisriskiä voidaan pienentää. Huomaa, että jos salkku sisältäisi vain yhtä osaketta, kolmio kutistuisi viivaksi, joka olisi pitempi kuin mikään kolmion sivuista.

Yleisessa tapauksessa osakkeita on enemmän kuin kaksi. Tällöin matematiikka pysyy samanlaisena, mutta neliöitäviä termejä, jotka summataan yhteen, vaan tulee enemmän. Jos ratkaistaan koko salkun keskihajontaa, se saadaan kaikkien keskihajontojen neliöiden (varianssien) summan neliöjuurena. Jos salkussa on N osaketta, tulee tällöin koko salkun keskihajonta on kääntäen verrannollinen N:n neliöjuureen. Teoriassa siis lisäämällä riippumattomia komponentteja salkkuun, voidaan keskihajonta (riski) viedä mielivaltaisen lähelle nollaa.

Edellä kuvattu tapaus ei kuitenkaan ole kovin realistinen, koska osakkeiden kurssien välinen korrelaation on nolla vain harvinaisissa erityistapauksissa. Yleisesti korrelaation on nollasta poikkeava. Tällöin analogiana voidaan käyttää suorakulmaisen kolmion sijasta kolmiota, jossa vierekkäisten sivujen välinen kulma on riippuvainen korrelaatiosta. Kulman kosini ja korrelaation negaatio asetetaan yhtäsuuriksi. Tällöin vastakkaisen sivun pituus saadaan ns. kosinilauseella, joka voidaan mieltää Pythagoraan lauseen laajennokseksi (ks. Kuva 3). Tällöin vierekkäisten sivujen neliöiden summasta vähennetään kaksi kertaa sivujen pituuksien tulo kerrottuna niiden välisen kulman kosinilla. Tai vastaavasti saadaan koko salkun varianssi, kun korvataan kosini termi korrelaatio termilla ja sivujen pituudet keskihajonnoilla, kuten edellä on selitetty.

Kuva 3. Mielivaltainen kolmio. Vastakkaisen sivun pituuden neliö on yhtä kuin vierekkäisten sivujen pituuden neliö, josta on vähennetty kaksi kertaa vierekkäisten sivujen pituuden tulo kerrottuna niiden välisen kulman kosinilla.

Tässä analogiassa kulma vierekkäisten sivujen välillä voi vaihdella nollasta 180 asteeseen. Kun korrelaatio on tasan yksi, kulma on 180 asteta, jolloin kolmion sivut osuvat samalle suoralle, mutta osoittavat eri suuntiin, jolloin keskihajontaa ei voi pienentää pienemmän keskihajonnan omaavan osakkeen keskihajontaa pienemmäksi. Kun korrelaatio on -1, kulma on 0 astetta, ja sivut osuvat jälleen samalle suoralle, mutta joilloin niitä sopivasti painottamalla saadaan sivut yhtä pitkiksi. Tällöin vastakkainen sivu kutistuu nollan pituiseksi, eli riski häviää. Yleisesti korrelaatiot ovat jotain näiden ääriarvojen väliltä. Positiivinen korrelaation tarkoittaa Kuvan 3 mukaista tylpää kolmiota (sivujen välinen kulma on suurempi kuin 90 astetta), kun taas negatiivinen korrelaatio tarkoittaa terävää kolmiota (sivujen välinen kulma on pienempi kuin 90 astetta). Tällöin kosinilause antaa koko salkun keskihajonnan.

Edelleen yleisen kolmion tapaus voidaan laajentaa useammalle osakkeelle, jolloin termejä tulee enemmän. Keskihajontojen neliöiden lisäksi kosinilauseen mukaisia korjaustermejä tulee jokaiselle osakeparille. Eli siis esimerkiksi kolmen osakkeen A, B, ja C tapauksessa korjaustemit tulevat pareilla AB, AC, ja BC. Neljän osakkeen A, B, C, ja D tapauksessa parit ovat AB, AC, AD, BC, BD, CD, jne.

Kun osakkeita on monta, on kätevää käyttää, ns. kovarianssimatriisia. Kovarianssi on korrelaatio kertaa vastaavat keskihajonnat eli siis painotuksia lukuunottamatta sama kuin edellä mainitut korjaustermit. Kuvassa 4 on esitetty matriisi, johon lasketaan jokaisen osakekurssiparin välinen kovarianssi. Osakkeen kovarianssi itsensä kanssa on itseasiassa sama kuin varianssi, koska sen korrelaatio itsensä kanssa on yksi ja sama keskihajonta tulee kerrotua itsensä kanssa. Näin ollen matriisin diagonaalille tulevat edellä mainutut kolmion sivujen neliöitä vastaavat termit painotuksia lukuunottamatta. Muut matriisin elementit vastaavat kosinilauseen korjaustermejä.

Kuva 4. Kovarianssi matriisi. Cov (XY) tarkoittaa satunnaismuuttujien X ja Y välistä kovarianssia.

Mitä tällä kovarianssimatriisilla sitten voi tehdä? Sillä voi tehdä moniakin asioita, mutta tässä yhteydessä halutaan laskea koko salkun keskihajonta, jota sitten pyritään minimoimaan. Tämä onnistuu laskemalla toinen vastaavan kokoinen matriisi, jossa osakkeiden painot kerrotaan keskenään. Eli siis, esim. jos osakkeen B paino on 8 % ja osakkeen D paino on 5 %, elementin BD arvo on 0,4 % (= 8 % kertaa 5 %). Tämä matriisi sitten kerrotaan elementeittäin kovarianssimatriisin kanssa. Näin on saatu kasaan matriisin elemnetteihin kaikki tarvittavat termit, jotka sitten vain lasketaan yhteen. Tulos on koko salkun varianssi, jonka neliöjuuri on siis vastaava keskihajonta.

Kun nyt tiedetään, miten keskihajonta lasketaan, voidaan sitä yrittää minimoida muuttamalla osakkeiden painoja salkussa. Tämä onnistuu sopivalla optimointialgoritmilla, mutta siihen en puutu tässä sen enempää. Keskihajontaa voidaan myös minimoida halutulle tuotto-odotukselle. Tällöin lasketaan koko salkun tuotto-odotus osakkeiden tuotto-odotusten painotettuna summana. Tällä tavalla löydetty minimi löytyy modernin portfolioteorian tehokkaasta rintamasta.

Tässä en ole käsitellyt sitä, miten korrelaatiot ja muut muuttujat lasketaan osakekursseista. Periaatteessa voitaisiin vain ottaa tietyn pituinen aikasarja, ja laskea ne siitä peruskaavoilla. On kuitenkin otettava huomioon, että tulos vaihtelee esimerkiksi riippuen siitä, kuinka pitkältä ajalta aikasarja otetaan. Voi myös olla, että raakadataa on tarpeen muokata, koska esimerkiksi osingot vaikuttavat asiaan, ja eri maiden aikasarjoista puuttuu eri päiviä kansallisten juhlapäivien tms. johdosta. Eli paljon on eri asioita otettava huomioon.

Käytän korrelaatiota yleisesti oman salkkuni riskin hallinnassa. Edellä mainittujen matriisien tarkasteleminen on myös paljastanut joitakin seikkoja markkinoiden rakenteesta. Niitä voi hyödyntää salkun sisällön valitsemissa. Hajauttamista tehdään monesti toimialojen, maiden, ja sijoitusinstrumenttien välillä, ja uskotaan, että näin päästään lähelle optimaalista riskienhallintaa. Korrelaatioiden laskeminen on kuitenkin paljastanut, että jotkin näennäisesti toisistaan riippumattomat sijoituskohteet korreloivat keskenään vahvasti, ja taas jotkin näennäisesti samankaltaiset sijoituskohteet eivät juurikaan korreloi keskenään. En siksi halua perustaa hajautustani pelkkään intuitioon, joka voi olla väärä, vaan todellisiin korrelaatioihin.

P.S. Blogger-palvelu jostain syystä kaatui ja kadotti tämän kirjoituksen osittain bittiavaruuteen, joten olen joutunut kirjoittamaan osia siitä uudestaan.